Polygones réguliers

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Polygones réguliers

1. Polygones réguliers : définition ; côtés, angles

Un polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur et tout les angles la même mesure.
Un polygone régulier est soit un polygone convexe, soit un polygone étoilé.

Tous les polygones réguliers convexes d'un même nombre de côtés sont semblables.

Un polygone régulier à n côtés se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de

Un polygone régulier est composé de (n − 2) triangles. Si on additionne les angles de ces triangles, on obtient la somme des angles intérieurs du polygone.
La somme des angles d'un polygone à n côtés est égale à (n − 2) × 180° (Scholie de la proposition 32 du livre I d'Euclide : somme des angles d'un triangle).

Les rayons d'un polygone inscrit dans un cercle, de rayon r, relient ses sommets à son centre.
Les apothèmes relient les milieux de ses côtés à son centre.

2.a. Polygone constructible

Savoir construire un polygone régulier, à n côtés, c'est savoir tracer le point de coordonnées (cos

, sin

). Ayant ainsi construit un côté de ce polygone, il suffit de reporter de proche en proche sa longueur sur le cercle unité.

Les Éléments d'Euclide donnent les constructions des polygones réguliers de 3, 4, 5, 6 et 15 côtés.
Ils expliquent comment, grâce à la construction des bissectrices, doubler le nombre de côtés d'un polygone.

2.b.Théorème de Gauss

Soit n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Le polygone à nm côtés est constructible à la « règle et au compas » si et seulement si les polygones à n côtés et à m côtés sont constructibles.

En effet, l'identité de Bézout permet de dire que si m et n sont premiers entre eux,
il existe deux entiers relatifs u et v tels que um + vn = 1.
Multipliant cette expression par

, il vient : u + v

On obtient l'angle

, sur le cercle unité, en reportant u fois l'angle

et v fois l'angle

, angles que l'on sait construire.

Exemple - construction du polygone régulier à 15 côtés :
Comme on sait tracer le triangle équilatéral et le pentagone régulier, 3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par

la relation de Bézout 2 × 3 − 5 = 1,
on obtient l'égalité 2

−

.
Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que (

) =

, le point B tel que (

) = −

est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB.

Il faudra attendre 1796 pour que Gauss démontre que le polygone de 17 côtés était aussi constructible à la « règle et au compas ».

2.c. Polygones constructibles

Un polygone régulier de n côtés est constructible si cos

est un nombre constructible. n est alors une puissance de 2, un nombre premier de Fermat de la forme 1 + 2^{(2^k)}, un produit de nombres de Fermat ou un produit d'une puissance de 2 par des nombres de Fermat.

Pour n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20… les polygones à n côtés sont constructibles. Pour n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19… ils ne le sont pas.

Liste des polygones réguliers

a côté, r rayon du cercle circonscrit

	Côtés	Angle au centre	Angle intérieur
Triangle équilatéral	3	120°	60°	côté a = r
Carré	4	90°	90°	côté a = r
Pentagone	5	72°	108°	= φ ; côté a = = r ; diagonale = = r
Hexagone	6	60°	120°	côté = rayon du cercle circonscrit ; a = r
Heptagone	7
Octogone	8	45°	135°	côté a = r
Ennéagone	9	40°	140°
Décagone	10	36°	144°	= φ : côté a = = r ; côté du décagone croisé = r φ = r
Hendécagone	11
Dodécagone	12	30°	150°	S = 3r² =3a²(2 + ).
Pantédécagone	15	24°	156°
n côtés	n

Avec GeoGebra

La construction d'un polygone convexe à partir d-un côté se fait, avec l'icône polygone régulier, à partir des deux points A et B, en renseignant le nombre de sommet n.
On obtient :
poly1= Polygone[A, B, n]
La fenêtre algèbre contient le segment [AB].. Les autres points et segments sont accessible dans les propriétés comme objets auxiliaires.

5. Dessiner un pentagone régulier

Construction de Ptolémée Classe de troisième Pour dessiner un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle, à la « règle et au compas », il suffit de savoir construire un angle au centre de 72° dont le cosinus est égal à . Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction adaptée du procédé de création du rectangle d'or : tracer un cercle (c₁) de centre O, de rayon r, passant par A(r, 0). Placer un diamètre [AA’], puis un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’]. K est le milieu de [OA’], le cercle (c₂) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U. La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c₁) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c₁) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone. En effet, KB’ = KU = r d'après la propriété de Pythagore, dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = r( − ) = et OI = r. L'angle (, ) a un cosinus égal à , c'est bien un angle de 72°. La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. Le point B a pour coordonnées OI = r cos 72° et IB = r sin 72°. Le point C a pour abscisse r cos 108° = − r cos 72° = − r ; et pour ordonnée r sin 108° = r sin 72°. Figure interactive dans GeoGebra Tube : pentagone régulier Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : pentagone
5.b. Tracer un pentagramme On obtient un pentagone étoilé en joignant, de deux en deux, les sommets d'un pentagone régulier. Le pentagone croisé ABCDE est obtenu à partir du pentagone convexe ADBEC. Télécharger la figure GéoPlan pentagone_etoile.g2w Figure exportée dans WikiPédia : pentagone étoilé Côtés des pentagones convexe ou étoilé Calculer les longueurs des côtés des pentagones réguliers convexe ou étoilé On inscrit dans un cercle (c) de centre O et de rayon r un décagone régulier. En joignant les sommets, de deux en deux, on obtient un pentagone régulier convexe ACEGI ; en les joignant de quatre en quatre on obtient un pentagone régulier étoilé AEICG (pentagramme). Soit a = AC la longueur du côté du pentagone, d = AE la longueur d'une diagonale, côté du pentagone étoilé. Le triangle isocèle AEG, d'angle au sommet 36°, est un triangle d'or. Le rapport entre le côté AE du triangle et sa base EG est le nombre d'or φ.	5.c. Côtés des pentagones convexe et croisé ; décagone Dans le pentagone le rapport est = = φ = : d = a φ. La longueur du côté du décagone régulier est EF = = r , en joignant les sommets de trois en trois, la longueur du côté du décagone croisé est : CF = r φ = r . Les relations de Pythagore dans les triangles rectangles ACF et AEF inscrits dans le demi-cercle de diamètre [AF] donnent : a² = AC² = AF² − CF² = 4r² − r²φ² et d² = AE² = AF² − EF² = 4r² − r²/φ². On trouve alors : Côté du pentagone régulier : a = 2 r sin 36° = = r ≈ 1,176 r ; Côté du pentagone croisé : d = = r ≈ 1,902 r. Télécharger la figure GéoPlan penta_dans_deca.g2w Pentagone régulier : constructions exactes constructions approchées
6. Hexagone Comment tracer un hexagone régulier à partir d'un cercle Classe de quatrième L'hexagone régulier est inscrit dans un cercle dont le rayon r est égal à la longueur a des côtés de l'hexagone.
6.a. Construction de l'hexagone à partir du cercle circonscrit Euclide Comment dessiner un hexagone: Pour tracer un hexagone régulier inscrit dans un cercle, il suffit de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon et de joindre les points consécutifs ainsi obtenus. Géométrie dynamique Placer deux points O et A, tracer le cercle (c) de centre O, passant par A. Le cercle de centre A, passant par O, coupe le cercle (c) en B et F, le cercle de centre B, passant par O, recoupe le cercle (c) en C, le cercle de centre C passant par O coupe le cercle (c) en D, le cercle de centre D passant par O coupe le cercle (c) en E. Effacer les cercles et tracer les côtés de l'hexagone ABCDEF. Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : hexagone Figure interactive dans GeoGebra Tube : hexagone Voir : construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral construction en partageant le diamètre d'un cercle en quatre	6.b. Hexagone à partir d'un côté Étant donné un segment [AB], tracer les cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A. O, un des points d'intersection de ces deux cercles, est le centre du cercle circonscrit l'hexagone. La construction se termine comme ci-dessus. Télécharger la figure GéoPlan hexagone_cote.g2w Avec GeoGebra la construction se fait, avec l'icône polygone régulier, à partir des deux points A et B, en renseignant le nombre de sommets 6. On obtient : poly1= Polygone[A, B, 6]
6.c. Hexagone à partir du cercle inscrit Classe de première L Étant donné deux points O et I, tracer l'hexagone passant par I, circonscrit au cercle (c) de centre O, passant par I. Tracer le cercle de centre I, passant par O. Soit J et N les points d'intersection de ce cercle avec le cercle (c). Soit P le symétrique de O par rapport à I. Le triangle PJN est équilatéral. (PJ) est perpendiculaire au rayon [JO] de (c). (PJ) est tangente au cercle (c). (PN) est aussi une tangente. Soit R et T les symétriques de P par rapport à J et à N. PRT est un triangle équilatéral dont les côtés sont tangents au cercle (c). Le cercle (c) est aussi inscrit dans le triangle équilatéral SUQ, symétrique de PRT par rapport à O. Les six points d'intersection de ces deux triangles forment l'hexagone ABCDEF, circonscrit au cercle (c). Télécharger la figure GéoPlan hexagone_circonscrit.g2w	6.d. Hexagramme étoilé L'hexagone régulier ABCDEF, inscrit dans le cercle circonscrit de centre O et de rayon r, est composé de 6 triangles équilatéraux de côtés r, d'aire s. L'aire de l'hexagone est S = 6s. En prolongeant les côtés de l'hexagone, on trouve six points d'intersection A', B', C'... On obtient six pointes, triangles équilatéraux de cotés r. L'étoile de David AA'BB'CC'DD'EE'FF' est formée de l'hexagone et des 6 pointes. Son aire, réunion de 12 triangles équilatéraux, est 12 s = 2S, soit le double de l'aire de l'hexagone. L'hexagramme A'B'C'D'E'F' est un hexagone régulier obtenu en complétant l'étoile par six triangles isocèles de petits côtés r et d'angle 120°. Par exemple, les triangles A'BB' et BCB' ont même base r et même hauteur, celle du triangle équilatéral, ils ont donc même aire s. La somme des aires des triangles isocèles est 6s = S. A'B'C'D'E'F a pour aire 2S + S = 3S. Le rapport d'agrandissement des hexagones est donc . Figure interactive dans GeoGebra Tube : hexagramme étoilé Hexagramme mystique
6.e. Calculer l'aire d'un hexagone régulier La longueur r des côtés de l'hexagone est égale au rayon du cercle circonscrit. L'hexagone régulier est composé de six triangles équilatéraux. Chaque triangle équilatéral de côté r, a pour aire r². Formule de l'aire de l'hexagone régulier : l'aire de l'hexagone régulier de côté r est : r².
7. Heptagone Construction approchée, dite « de Thalès » L'heptagone régulier n'est pas constructible à la « règle et au compas ». En effet, pour a = , calculons cos() grâce aux cosinus des angles supplémentaires et : cos(4a) = 8 cos⁴(a) − 8 cos²(a) + 1 et cos(3a) = 4 cos³(a) − 3 cos(a). En remplaçant cos() par x, dans l'égalité cos() = − cos() on a : 8x⁴ − 8 x² + 1 = − 4 x³ + 3x soit l'équation 8x⁴ + 4 x³ − 8 x² − 3x + 1 = 0. L'angle a = π est aussi solution pour x = cos(π) = − 1. On peut donc factoriser (x + 1) soit (x + 1) (8x³ − 4x² − 4x + 1) = 0 cos() est donc solution de l'équation 8x³ − 4x² − 4x + 1 = 0. Équation irréductible dans Q Soit une solution rationnelle irréductible de l'équation 8x³ − 4x² − 4x + 1 = 0. Dans Z on a alors 8p³ − 4 p²q − 4 pq² + q³ = 0. Il résulte du théorème de Gauss que p divise 1 et q divise 8. Les candidats pour sont à chercher parmi les facteurs de . Dans ce cas particulier, de l'égalité 8p³ − 4 p²q − 4 pq²+ q³ = 0, il s'ensuit que q est pair. Posons alors q = 2r. Il vient, l'égalité : p³ − p²r − 2pr² + r³ = 0. Mais la fraction étant irréductible p est premier avec q et par suite avec sa moitié r. Du théorème de Gauss, il résulte que p divise 1 et r divise 1. Donc p = ±1 et r = ± 1, d'où q = ± 2. En conséquence x = ± et on vérifie que ± n'est pas solution de l'équation. L'équation n'a pas de solution dans Q.	Polynôme minimal du troisième degré P(x) = 8x³ − 4x² − 4x + 1 admet comme solution cos(). Cette solution n'est pas rationnelle. Soit un autre polynôme Q(x) de Q[X], de degré moindre, qui aurait cos() comme 0. Si Q(x) était un binôme de degré 1, il admettrait une solution rationnelle ce qui n'est pas le cas. Q(x) est donc du second degré. Grâce à la division euclidienne de P(x) par Q(x), on trouve P(x) = Q(x) (ax + b) + R(x), avec a non nul et R(x) binôme du premier degré. En remplaçant x par cos(), on trouve que R(cos()) = 0, cette solution n'étant pas rationnelle, cette première contradiction impose donc R(x) = 0. P(x) alors égal à Q(x) (ax + b) serait factorisable dans Q[X] et aurait − b/a pour solution ce qui est impossible. cos() n'est pas solution d'une équation du second degré à coefficients entiers. P(x) est irréductible dans Q[X]. cos() est algébrique sur Q de degré 3. Le nombre cos() n'est pas constructible et, d'après le théorème de Wantzel, il est impossible de tracer l'heptagone régulier à la « règle et au compas ». Voir aussi une démonstration montrant si l'équation admet une solution constructive, elle admet une solution rationnelle, d'où la contradiction.
Construction de Thalès Cette construction d'un heptagone presque régulier est attribuée au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet (vers 600 avant J.-C.). Elle nécessite la règle et deux ouvertures de compas. Deux points A et A₁ étant donnés, tracer le cercle (c) de diamètre [AA₁]. Les cercles de centres A et A₁ et de rayon AA₁ se coupent en P et Q. On divise le diamètre [AA₁] en n = 7 parties égales. Les droites (PI₂), (PI₄) et (PI₆) rencontrent le cercle (c) en B, C et D, sommets du polygone. On complète par symétrie par rapport à (AA₁). On obtient les points G, F et E intersections du cercle (c) et des droites (QI₂), (QI₄) et (QI₆). ABCDEFG est une construction approchée de l'heptagone régulier. Télécharger la figure GéoPlan polygo_7.g2w Figure reprise dans : prise2tete.fr Construction d'un polygone de n côtés Cette méthode s'applique à un polygone de n côtés. Elle est d'une grande facilité et d'une précision très satisfaisante jusqu'à n = 10.
8. Dessiner un octogone régulier En fonction du rayon r du cercle circonscrit, la longueur du côté est : 2 r sin = r ≈ 0,765 r. Voir le calcul du sinus de 45° : angle trigonométrie 8.a. Octogone inscrit dans un cercle Classe de troisième À partir de deux points O et A, tracer le cercle de centre O, passant par A. Tracer deux diamètres [AE] et [CG] perpendiculaires : ACEG est un carré. Tracer les bissectrices des angles formés par les droites (AE) et (CG). Pour cela, tracer les cercles de centres A et C, passant par O, qui se recoupe en I. (OI) est la médiatrice de [AC] et coupe le cercle en B et F. Tracer les cercles de centres C et E, passant par O, qui se recoupe en J. (OJ) est la médiatrice de [CE] et coupe le cercle en D et H. En joignant les extrémités de ces quatre diamètres, on obtient l'octogone régulier ABCDEFGH. Figure interactive dans GeoGebra Tube : octogone	8.b. Octogone inscrit dans un carré Dessiner un carré PQRS, de centre O. Tracer alternativement les cercles centrés sur chaque sommet du carré, passant par le centre O. En joignant les points d'intersection de ces cercles avec les côtés du carré, on obtient un octogone régulier inscrit dans un carré. Figure interactive dans GeoGebra Tube : octogone inscrit dans un carré Voir : octogone non régulier construit à l'intérieur d'un carré
8.c. Points d'intersection de deux carrés Sommets de l'octogone comme points d'intersection de deux carrés Tracer un carré PQRS a pour centre O. Une rotation de centre O et d'angle 45° transforme ce carré en TUVW. Les points d'intersection de ces deux carrés forment un octogone régulier. Télécharger la figure GéoPlan octogone3.g2w	8.d. Dessiner un octogone à partir d'un côté Classe de première L Comment dessiner un octogone régulier à partir d'un côté Du centre O du cercle circonscrit, on « voit » un côté [AB] suivant un angle de 45°. Le point O est situé sur arc capable correspondant à un angle au centre de 90°. Le centre I de l'arc capable est donc situé sur le cercle de diamètre le côté [AB]. Construction Étant donné deux points A et B, tracer le cercle de diamètre [AB], la médiatrice de [AB] coupe ce cercle en un point I. Le cercle de centre I, passant par A, coupe la médiatrice en un point O, situé du même côté que I, par rapport à (AB). AÔB = AÎB = 45°, le point O est le centre du cercle circonscrit à l'octogone. On termine la construction comme ci-dessus à gauche. Télécharger les figures GéoPlan octogone_cote.g2w, octogone_cote2.g2w Avec GeoGebra, utiliser l'icône polygone régulier : poly1= Polygone[A, B, 8] Voir cette construction utilisée dans l'espace : pyramide octogonale
8.e. Octogone délimité par 4 triangles équilatéraux Quatre triangles équilatéraux construits à l'intérieur d'un carré délimitent un octogone À l'intérieur d'un carré ABCD, construire quatre triangles équilatéraux ABE, BCF, CDG et DAH. L'intérieur de cette figure forme un octogone régulier. Figure interactive dans GeoGebra Tube : octogone et triangles équilatéraux Voir octogone (non régulier) à l'intérieur d'un carré, Construction du pentagone régulier	8.f. Construction de l'octogone étoilé ABCDEFGH est un octogone régulier. En joignant les sommets trois à trois, on obtient l'octogone croisé ADGBBEHCF. Figure interactive dans GeoGebra Tube : octogone étoilé
9. Ennéagone Non constructible à la « règle et au compas », car la trisection d'un angle de mesure radians n'est pas possible, résultat prouvé en 1801 par Gauss. Page en projet : ennéagone Construction approchée de Thalès Deux points A et A₁ étant donnés, tracer le cercle (c) de diamètre [AA₁]. Les cercles de centres A et A₁ et de rayon AA₁ se coupent en P et Q. On divise le diamètre [AA₁] en n = 9 parties égales. Les droites (PI₂), (PI₄), (PI₆) et (PI₈) rencontrent le cercle (c) en B, C, D et E, sommets du polygone. On le complète par symétrie par rapport à (AA₁). On obtient alors les points I, H, G et F intersections du cercle (c) et des droites (QI₂), (QI₄), (QI₆) et (QI₈). ABCDEFGHI est une construction approchée de l'ennéagone régulier. Télécharger la figure GéoPlan enneagone.g2w Comment dessiner un polygone à 9 côtés : www.apprendredessin.fr
10. Construire un décagone régulier Le décagone se construit au compas par la dissection d'un pentagone. 10.a. Méthode des cercles tangents Dessiner un décagone avec la méthode des cercles tangents Décagone BB₁B₂B₃B₄B₅B₆B₇B₈B₉, construit à partir du sommet B, inscrit dans un cercle (c₂), de centre I et de rayon IA. Construction Construire un rayon [IA], perpendiculaire à (IB). Tracer le cercle (c₁), de diamètre [IA], de centre O. La droite (BO) rencontre le petit cercle (c₁) en J et K (BJ < BK). Le cercle (c₃) de centre B, passant par J, rencontre le grand cercle (c₂) en B₁ (et en B₉), sommets du décagone. Reporter l'ouverture BB₁ sur le cercle en B₂, puis de B₂ en B₃, etc. On peut continuer la construction des sommets du décagone avec les symétries par rapport aux droites (IA) et (IB). Les points B₃ et B₇ sont aussi situés sur le cercle de centre B passant par K. Télécharger la figure GéoPlan decagone.g2w Voir pentagone : méthode des cercles tangents	10.b. Construction de Ptolémée du décagone Construction du décagone régulier Les cinq autres sommets, points d'intersection du cercle circonscrit avec les bissectrices de rayons consécutifs, sont les symétriques des sommets du pentagone par rapport au centre. Tracer le pentagone ACEGI de centre O et son symétrique FHJBD. ABCDEFGHIJ est un décagone régulier de côté : AB = OU = r( − ) = . Télécharger la figure GéoPlan decagone.g2w
10.c. Construire un décagone régulier Par exemple, pour construire un décagone inscrit dans un cercle de 27 cm de diamètre, soit un rayon de 13,5 cm, le côté mesure ≈ 8,3 cm et la figure ci-dessous donne les coordonnées des sommets.
10.d. Décagone et triangle d'or [AB] est le côté du décagone ABCDEFGHIJ régulier convexe inscrit dans un cercle (c) de centre O, [AD] est le côté du décagone étoilé. [AD] et le rayon [BO] se coupent en M. Le rayon (BO) prolongé passe par le sommet G et le rayon (DO) prolongé passe par le sommet I. Télécharger la figure GéoPlan dodecagone_2.g2w	10.e. Décagone étoilé Le nombre de polygones réguliers croisés de n côtés est égal au nombre de nombres premiers avec n contenus dans la suite 2, 3…, . Comme pour le pentagone, il n'y a qu'un décagone croisé que l'on obtient en joignant les sommets de trois en trois. Télécharger la figure GéoPlan decagone_croise.g2w
10.f. Triangles d'or OAB est un triangle isocèle de côtés égaux au rayon r du cercle circonscrit. L'angle AÔB = 36° comme angle au centre du décagone. Les deux autres angles mesurent 72° comme angles inscrits interceptant quatre divisions sur le cercle (c). OAB est donc un triangle d'or. Le rapport entre le côté du triangle et sa base est φ. Le côté du décagone est AB = . L'angle inscrit IDA intercepte deux divisions, il mesure 36°. L'angle au centre BÔD intercepte deux divisions, il mesure 72°. DOM est donc un triangle d'or, isométrique à OAB. L'angle OMD mesure 72°, ainsi que l'angle AMB, qui lui est opposé par le sommet. L'angle inscrit BAD intercepte deux divisions, il mesure 36°. ABM est encore un triangle d'or. MOA a pour angles à la base deux angles inscrits de 36°, il est donc isocèle : OM = AM = AB = . AD = AM + MD = + r = rφ. On peut aussi remarquer que l'angle de 36°, que fait la corde [OM] avec [OA], est égal à l'angle ODM inscrit dans le cercle circonscrit au triangle ODM. (OA) est tangent au cercle. La puissance du point A par rapport à ce cercle est AD × AM = AO². Comme AM = AB on obtient les deux côtés en divisant le rayon en « extrême et moyenne raison » AB = = r et AD = r φ = r .
11. Hendécagone Non constructible à la « règle et au compas ».
12. Dodécagone C'est un polygone à 12 sommets et côtés. Il possède 54 diagonales et la somme de ses angles est égale à 1800°. Le dodécagone se construit au compas par la dissection d'un hexagone : les six autres sommets sont les points d'intersection du cercle circonscrit avec les bissectrices de rayons consécutifs. 12.a. Construction par dissection d'un hexagone À partir d'un hexagone ACEGIK inscrit dans le cercle (c), on utilise les cercles passants par O, centrés sur deux sommets consécutifs, ayant permis la construction de l'hexagone. Par exemple, les cercles de centres A et C passant par O se recoupent en M. La droite (AM) est la médiatrice du côté [AC]. Elle coupe le cercle (c) en B et H qui sont deux sommets opposés du dodécagone. Télécharger la figure GéoPlan dodecago.g2w	12.b. Construction au compas Dans le cercle (c), de centre O, tracer deux diamètres [AG] et [DJ] perpendiculaires. Les points du dodécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A, D, G et J passant par le centre O. Télécharger la figure GéoPlan dodecagone_2.g2w
12.c. Aire du dodécagone On choisit OA comme unité. Un dodécagone régulier est inscrit dans le cercle (c) de centre O et de rayon 1. On le partage en 12 triangles isocèles. Dès la cinquième on peut, en remarquant que le triangle isocèle OBB’ ayant un angle de 60° est équilatéral, montrer que BB’ = 1. La hauteur BK du triangle OAB est égale à et l'aire du triangle est égale à . Le dodécagone a donc une aire égale à 3. Si le rayon du cercle circonscrit est r, l'aire est 3r². Elle est inférieure à l'aire du cercle (c), d'où 3 < π. Au lycée, en 1^ère S, on montrera que l'apothème (rayon du cercle inscrit) est : OH = cos = . Télécharger la figure GéoPlan dodecagone.g2w Voir angle-trigonométrie En choisissant OI = = on construit un dodécagone tangent extérieurement au cercle (c) d'aire 3 OI² ≈ 3.22, donc 3 < π < 3,22.	12.d. Avec quatre triangles équilatéraux Dessiner un dodécagone avec quatre triangles équilatéraux On reprend la construction de l'octogone délimité par quatre triangles équilatéraux construits à l'intérieur d'un carré À l'intérieur d'un carré ABCD, construire quatre triangles équilatéraux ABE, BCF, CDG et DAH. Les quatre sommets internes des triangles équilatéraux forment un carré EFGH. Le milieu des petits côtés et les intersections des côtés des triangles proches des sommets forment un dodécagone régulier. L'aire du dodécagone est égale au cinquième de l'aire du carré. Figure interactive dans GeoGebra Tube : dodécagone et triangles équilatéraux
12.e. Construction du dodécagone autour d'un hexagone Sur chaque côté, de longueur a, d'un hexagone réguler, à l'extérieur, on construit six carrés et joint les sommets des carrés consécutifs. On forme ainsi six triangles isocèles d'angles au sommet 360° - 120° - 90° - 90° = 60°. Ces six triangles sont donc équilatéraux. La figure est formée de 12 côtés de longueur a, formant des angles de 90° + 60° = 150° est un dodécagone régulier. Aire en fonction du côté L'hexagone est décomposable en six triangles équilatéraux de côtés a d'aire a². L'aire de l'hexagone est 3 a². Les six triangles équilatéraux extérieurs ont aussi pour aire 3 a² et l'aire des carrés est 6a². L'aire du dodécagone est donc 3a²(2 + ). L'apothème OH (rayon du cercle inscrit) est égale au coté du carré, plus la hauteur d'un triangle équilatéral : OH = a(1 + ) Figure interactive dans GeoGebra Tube : dodécagone régulier
15. Pentadécagone ou pentédécagone, ou encore quindécagone 15.a. Découpage d'un arc grâce à un triangle équilatéral et un pentagone inscrit dans un cercle. Comme on sait construire le triangle équilatéral et le pentagone régulier, on applique le théorème de Gauss : 3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par la relation de Bézout 2 × 3 − 5 = 1, on obtient l'égalité 2 − = , qui fournit une construction. Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que : (, ) = , le point B tel que (, ) = − est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB. En pratique on trace le pentagone régulier ADGJM (sens direct). À partir du point G, on trace le triangle équilatéral GBL (sens rétrograde). En reportant 14 fois la longueur AB sur le cercle, on obtient le polygone régulier ABCDEFGHIJKLMNP. Télécharger la figure GéoPlan poly_15.g2w	15.b. Construction au compas Construire le pentagone régulier ADGJM de centre O. Placer les points A’, D’, G’, J’, M’ symétriques de A, D, G, J, M par rapport à O. Les points du pentédécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A’, D’, G’, J’, M’ passant par le centre O. Justification G’OB est un triangle équilatéral de côtés égaux au rayon r du cercle circonscrit, G’ÔB = 60°. G’ÔA = MÔA = 36° (angle au centre du pentagone). AÔB = G’ÔB − G’ÔA = 60° − 36° = 24° est l'angle au centre du pentédécagone et le point B est bien un sommet. Télécharger la figure GéoPlan pentadecagone_2.g2w Article exporté dans WikiPédia : Pentédécagone
Une telle construction a été proposée par Euclide: 15.c. Les Éléments d'Euclide - livre IV - Proposition 16
15.d. Construction avec une médiatrice Construire le pentagone régulier ADGJM inscrit dans le cercle (c) de centre O. Placer le point G’ symétrique de G par rapport à O. La médiatrice de [OG’] coupe le cercle (c) en deux points B et L, sommets du pentédécagone. Télécharger la figure GéoPlan pentadecagone.g2w	Justification Le triangle OBG’ est équilatéral, car OB = OG’ comme rayons et OB = G’B car B est sur la médiatrice de [OG’]. L'angle MÔA de deux rayons du pentagone est de 72°. G’ÔA = MÔA = 36°. AÔB = G’ÔB − G’ÔA = 60° − 36° = 24°, angle deux rayons du pentédécagone.
Pentédécagones croisés Le nombre de polygones réguliers croisés de n côtés est égal au nombre de nombres premiers avec n contenus dans la suite 2, 3…, . Il y a trois pentédécagones croisés que l'on obtient en joignant les sommets de deux en deux, de quatre en quatre ou de sept en sept.
17. Heptadécagone (polygone de Gauss) Cette méthode employée par Gauss en 1796, montre que le polygone régulier de 17 côtés est constructible à la règle et au compas. Pour inscrire ce polygone dans un cercle (c), de centre O, tracer deux diamètres [AC] et [BD] perpendiculaires. Soit E le point de [OB] tel que OE = OB, la droite (EF) est la bissectrice de OÊA et la droite (EG) est la bissectrice de OÊF (OÊG = OÊA). (HE) est la perpendiculaire en E à (EG), la droite (EI) est la bissectrice de HÊG. Le cercle de diamètre [IA], centré en J, rencontre [OB] en K. Le cercle de centre G, passant par K coupe [AC] en L et M (presque confondu avec J). Les parallèles à (BD) passant L et M coupent le cercle (c) en A₅, A₁₂, A₃, A₁₄, points du polygone. La médiatrice de [A₃ A₅] coupe le cercle en A₄. [A₃ A₄] et [A₄ A₅] sont deux côtés de l'heptadécagone. Télécharger l